Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
"Тамбовський державний університет імені Г. Р. Державіна"
Інститут математики, фізики та інформатики.
"Знаходження розв'язків диференціальних рівнянь,
мають вертикальні асимптоти "
ДИПЛОМНА РОБОТА

Допущена до захисту Завідувач кафедрою доктор фізико-математичний наук, професор _________________

Студентка 6 курсу заочного відділення науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор, професор кафедри алгебри і геометрії __________________

Тамбов, 2009

ЗМІСТ
Введення
Метод знаходження наближеного розв'язку диференціальних рівнянь, що мають вертикальні асимптоти
Приклад
Список літератури

ВСТУП

Розглянемо загальне диференціальне рівняння 1 порядку.
QUOTE = F (x, y)
Рішенням цього рівняння на інтервалі I = [a, b] називається функція u (x)
Вирішити це диференціальне рівняння чисельним методом означає, для заданої послідовності аргументів х0, х1 ..., хn і кількості у0, не визначаючи аналітичний вигляд функції у = F (x), знайти такі значення
у1, у2, ..., уn, що уi = F (xi), i = 1,2, ...
Таким чином, чисельні методи дозволяють замість перебування функції
y = F (x) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. Величина QUOTE називається кроком інтегрування. Часто вибирають QUOTE
Метод Ейлера ставитися до чисельних методів, що дає рішення у вигляді таблиці наближених значень шуканої функції у (х). Він є порівняно грубим і застосовується в основному для орієнтовних розрахунків. Проте ідеї, покладені в основу методу Ейлера, є вихідними для ряду інших методів.

Метод знаходження наближеного рішення

диференціальних рівнянь, що мають вертикальні асимптоти

Застосування крокових методів рішення задачі Коші для звичайного диференціального рівняння
у '= f (x, у), х ≥ 0, (1)
в (0) = α, (2)
зустрічає серйозні труднощі, якщо рішення у (х) не продолжаемо на всю числову вісь.
Дійсно, звичне визначення рішення, як функції аргументу х, змушує обирати в якості кроку значення QUOTE . Обчислення з таким кроком не дозволяють "помітити", наприклад, вертикальну асимптоту рішення. У роботі пропонується модифікація однокрокових чисельних методів, що дозволяє оцінювати та враховувати максимальний інтервал існування розв'язку задачі (1), (2) з тим, щоб не будувати позбавлені сенсу "наближені рішення" за межами цього проміжку, якщо він скінчений. Ця модифікація полягає в геометричній ідеї розгляду рішення як кривої на площині Оху. При такому погляді в якості кроку природно вибрати довжину укладеного між точками (QUOTE , QUOTE ), (QUOTE ), Апроксимуючої рішення.
Застосуємо цю ідею до модифікації методу Ейлера, описуваного формулами QUOTE = QUOTE + QUOTE , QUOTE + QUOTE . Так як тут інтегральна крива замінюється ламаної, то в якості постійного кроку H виберемо відстань між точками (QUOTE ), (QUOTE , QUOTE ), Тобто
QUOTE = QUOTE .
Звідси QUOTE . Таким чином, метод Ейлера можна записати у вигляді:
QUOTE + QUOTE ; QUOTE . (3)
Наведемо умови кінцівки максимального інтервалу існування розв'язку задачі (1), (2) і з'ясуємо поведінка при цих умовах наближеного рішення, побудованого за формулами (3). Інтервал [0, b) вважається максимальним інтервалом існування рішення QUOTE , Якщо QUOTE або якщо не існує кінцевого межі QUOTE Відповідне рішення QUOTE , Визначений на [0, b), називається повним. Пропоноване нижче твердження не містить вимог до функції f, що гарантують наявність повного вирішення і тим більше його єдиність. Зазначимо у зв'язку з тим, що безперервності f достатньо для існування повного вирішення і продолжаемості будь-якого рішення на максимальний інтервал.
ТЕОРЕМА 1. Нехай α> 0 і існують такі позитивні числа А, δ, що при всіх QUOTE , QUOTE виконано нерівність:
f (x, y) ≥ А QUOTE (4)
Тоді:
якщо існує повне рішення QUOTE , X QUOTE , Завдання (1), (2),
то QUOTE , QUOTE
для наближеного рішення, побудованого за формулами (3), мають місце граничні співвідношення QUOTE